Makalah Bilangan Cacah

BAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah Bilangan cacah merupakan konsep dasar yang semestinya di kuasai dan di pahami anak sehingga dapat menguasai dan memahami aplikasi konsep ini dalam kehidupan sehari-hari. Dengan adanya tuntutan ini perlu kiranya dipelajari melalui pembelajaran bermakna mengenai konsep bilangan cacah. Sebagai implikasinya calon guru SD dan guru SD sebagai pendidik seyogianya mampu memehami dan menguasai konsep bilangan cacah dan terampil meyajikan secara bermakna baik pada sisiwa di kelas rendah maupun di kelas tinggi. Oleh karena itu makalah ini menyajikan tentang konsep bilangan cacah, operasi bilangan cacah, dan sifat- sifat bilangan cacah. Agar calon guru SD dapat memahami tentang bilangan cacah dan dapat menerapkanya ketika nanti mengajar dalam sekolah dasar. Rumusan Masalah Beberapa masalah yang akan dibahas di dalam makalah ini adalah sebagai berikut, Bagaimana konsep bilangan cacah ? Seperti apa operasi bilangan cacah ? Bagaimana sifat-sifat bilangancacah ? Bagaimana mempraktekan bilangan cacah di kelas rendah ? Bagaimana mempraktekan pembelajaran bilangan cacah di kelas tingi? Maksud dan Tujuan Makalah ini bertujuan untuk membahas mengenai, Konsep bilangan cacah Operasi bilangan cacah Sifat-sifat bilangan cacah Cara mempraktekan bilangan cacah di kelas rendah Cara mempraktekan pembelajaran bilangan cacah di kelas tinggi Manfaat Makalah ini bisa bermanfaat sebagai acauan dalam mengajarkan bilangan cacah dan operasi bilangan cacah diSekolah Dasar. BAB II PEMBAHASAN Konsep Bilangan Cacah Dalam kehidupan sehari-hari seperti lambang 3 mewakili bilangan “tiga”. Bilangan 3 dapat juga diartikan sebagai anggota himpunan yangb banyaknya tiga. Apabila suatu himpunan karena alasan tertentu tidak mempunyai anggota, maka cacah anggota himpunan itu dinyatakan dengan nol dan dinyatakan dengan lambing 0. Jika anggota dari suatu himpunan hanya terdiri dari satu anggota saja maka cacah anggota himpunan tersebut adalah satu dan dinyatakan dengan lamabang 1. Selain lambing 3 dan 0 juga dikenal bilangan lainnya seperti 2,4,5,6 dan seterusnya, sehingga bila diurutkan bilangan tersebut adalah 0,1,2,3,4,5,6 dan seterusnya. Bilangan cacah dapat didefinisikan sebagai bilangan yang digunakan untuk menyatakan cacah anggota atau kardinalitas suatu himpunan. Bilangan cacah terdiri dari bilangan asli dan unsur nol yang diberi lambing 0. Bilangan cacah dapat dinyatakan dengan lambing sebagai berikut : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15… Operasi Hitung Bilangan Cacah Operasi Hitung Penjumlahan Operasi hitung penjumlahan bilangan cacah pada dasarnya merupakan suatu aturan yang mengaitkan setiap pasang bilangan cacah dengan suatu bilangan cacah lain. Jika a dan b adalah bilangan cacah maka jumlah kedua bilangan itu dilambangkan dengan “a + b” yang dibaca “a tambah b”. jumlah a dan b ini diperoleh dengan menentukan cacah gabungan himpunan yang mempunyai sebanyak a anggota dengan himpunan yang mempunyai sebanyak b anggota, asalkan kedua himpunan itu tidak mempunyai unsure persekutuan. Sifat-sifat operasi hitung penjumlahan adalah : Sifat Pertukaran ( Komutatif ) Bilangan Kedua + 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3 4 1 1 2 3 4 5 2 2 3 4 5 6 3 3 4 5 6 7 4 4 5 6 7 8 Perhatikan gambar diatas, bilangan hasil operasi penjumlahan terletak pada baris dan kolomtertentu dan diberi nama Cij dengan C bilangan cacah hasil operasi penjumlahanyang terletak pada baris ke-i dan kolom ke-j. Misalnya bilangan cacah hasil operasi penjumlahan terletak pada baris ke-2 dan kolom ke-3, kita tulis C3,2=3. Bilangan-bilangan yang diatas dan dibawah diagonal utama simetris terhadap bilangan pada diagonal utama. Hal ini menunjukkan bahwa bilangan-bilangan yang bersangkutan adalah sama. Misalnya : C1,2=C2,1 atau 0+1 = 1+0 C3,4=C4,3 atau 2+3 = 3+2 C4,5 = C5,4 atau 3+4 = 4+3 Dari hasil pengamatan soal diatas, dapat disimpulkan bahwa : Jumlah dua bilangan cacah tetap sama walaupun tempatnya ditukarkan. Contoh soal : Jika lambang “*” berarti kalikanlah bilangan pertama dengan 3, kemudian jumlahkan hasilnya dengan bilangan kedua”. Tentukan hasil dari 5*3 dan 3*5 Apakah lambang “*” merupakan sifat komutatif seperti lambang + ? Penyelesaian : 5*3= 5 x 3 + 3 = 15+3 = 18 3*5= 3 x 5 + 5 = 15+5 = 20 Karena 5*3 ≠ 3*5, maka lambang * merupakan lambang yang tidak bersifat komutatif seperti lambang + Sifat Pengelompokkan ( Assosiatif ) Perhatikan soal dibawah ini : Hasil yang diperoleh dengan kedua cara tersebut ternyata sama, jadi (25+52) + 94 = 25+(52 + 94) Contoh soal : Jika lambang “ “ berarti kuadratkan bilangan pertama, lalu jumlahkan hasilnya dengan bilangan kedua. Tentukanlah (4 5) 3 dan 4 (5 3). Apakah lambang “ “ merupakan operasi yang bersifat asosiatif seperti lambang + ? Penyelesaian : (4 5) 3 = (42+5) 3 = (16+5) 3 = 212 + 3 = 441+3 = 445 4 (5 3) = 4 (52+3) = 4 (25+3) = 42 + 28= 16+28 = 44 Karena (4 5) 3 ≠ 4 (5 3),maka lambang “ “ bukan operasi yang bersifat asosiatif seperti lambang +. Sifat Identitas pada Bilangan 0 Misal : 1 + 0 = 1 5 + 0 = 5 Operasi Hitung Pengurangan Diketahui x adalah bilangan cacah, berapa nilai x, jika x+12=19 ? Untuk menentukan nilai x itu dapat ditempuh cara-cara sebagai berikut : Mencari bilangan yang tepat sebagai pengganti x, diman jika x ditambahkan kepada 12 menghasilkan 19. Ternyata x adalah 7 Mencari nilai dari 19-12=7, ternyata bilangan cacah yang tepat memenuhi 19-12 adalah 7. Perbedaan dari cara diatas adalah, cara pertama menggunakan penjumlahan, sedangkan cara kedua menggunakan pengurangan. Operasi pengurangan pada dasarnya merupakan kebalikan / lawan dari operasi penjumlahan. 19-7 = 12 sama artinya dengan 12+7=19. Operasi pengurangan tidak memenuhi sifat-sifat yang dimiliki oleh sifat operasi penjumlahan. 3. Opersi Hitung Perkalian Operasi hitung perkalian bilangan cacah pada dasarnya dapat di definsikan sebagai hasil penjumlahan berulang bilangan-bilangan cacah. Jika a dan b bilangan-bilangan cacah, maka a x b dapat diddefinisikan sebagai b+b+b+…+b ( sebanyak a kali ). Oleh karena itu 4 x 3 akan sama dengan 3+3+3+3, sementara itu 3 x 4 sama dengan 4+4+4. Jadi secara konseptual a x b tidak sama dengan b x a, akan tetapi kalau mau dilihat hasil kalinya saja maka a x b = b x a. Dengan demikian operasi perrkalian memenuhi sifat pertukaran Sifat pertukaran ( komunikatif ) Jika a,b adalah bilangan cacah, maka berlaku a x b = b x a Soal : Lambang “ * ” berarti “ kuadratkanlah bilangan pertama, kemudian kalikan hasilnya dengan bilangan kedua”. Tentukanlah nilai 6 * 3 dan 3 * 6 Jika a dan b menyatakan dua bilangan, apakah a * b = b * a ? Penyelesaian : 6 * 3 dan 3 * 6 6^2 x 3 dan 3^2 x 6 36 x 3 dan 9 x 6 108 72 Jika a = 6 * 3 dan b = 3 * 6, maka a * b ≠ b * a atau 6 * 3 ≠ 3 * 6 Sifat Penelompokan ( Assosiatif ) Jika a, b, dan c adalah bilangan cacah, maka ( a x b) x c = a x ( b x c ) = abc Sifat bilangan 0 pada perkalian Jika a adalah bilangan cacah, maka a x 0 = 0 x a = 0 sifat bilangan 1 pada perkalian sebagai Unsur Identitas Jika a adalah bilangan cacah, maka, maka berlaku a x 1 = 1x a = a 5) Sifat Distributif Perkalian a. sifat Distributif Perkalian Terhadap Penjumlahan A B Misalnya ada bangun persegi A dan B, kedua bangun ini di buat petak- petak persegi yang ukuranya sama sepertai pada gambar. Barapa banyaknya petak daari bangun persegi panjang A dan B bersama sama ? perhitungan dapat di lakukan dengan dua cara. Cara pertama : Banyaknya petak di dalam Adan B bersama-sama = banyaknya petak di dalam A + banyaknya petak di dalam B = ( 3 X 4 ) + ( 3 X 4 ) = 15 + 12 + 27 Cara kedua : Menghitung bayaknya petak pada baris paling atas dari A dan B ialah 5 + 4 = 9. Pada masing-masing jajaran ada 3 baris, maka banyak di dalam A dan B bersama = 3 x ( 5 + 4 ) = 3 x 9 = 27 Dengan kedua cara tersabut di atas dapat di lihat bahwa ( 3 x 5 ) + ( 3 x 4 ) = 3 x ( 5 + 4 ) = 27 Untuk semua bilangan cacah a, b, dan c berlaku a x b ( b + c ) = ( a x b ) + ( a x c ) atau a ( b + c ) = ab – ac atau ( b + c ) a = ba + ca b.Sifat Distributif Terhadap pengurangan Untuk semua bilangan cacah a, b dan c berlaku a x ( b-c ) = ( a x b ) – ( a x c ) atau a ( a – b ) = ab – ac atau ( b – c ) a = ba – ca 4. Operasi Hitung Pembagian Misalnya diketahui n adalah bilangan cacah, berapakah nilai n, jika 7 x n = 42? Untuk menentukan nilai n ditempuh dengan cara sebagai berikut. Mencari bilangan pengganti n dimana jika n dikalikan dengan 7 menghasilkan 42 Mencari nilai dari 42 : 7 Kedua cara tadi menghasilkan penyelesaian yang sama. Perbedaan adalah cara pertama menggunakan perkalian, sedangkan cara kedua menggunakan pembagian. Jadi membagi 42 dengan 7 sama artinya dengan cara mencari bilangan yang harus di kalikan 7 untuk memperoleh 42. Pembagian adalah operasi kebalikan ( invers ) dari operasi perkalian. Pernyataan 42 : 7 = 6 sama artinya dengan 7 x 6 = 42 atau ditulis 42 : 7 = 6 ↔ 6 x 7 = 42 Jika a,b dan c adalah bilangan cacah sembarangan, maka a : b ↔ c x b = a Sifat-sifat yang berlaku pada operasi pembagian bilangan cacah adalah Sifat bilangan 0 pada operasi Pembagian Pada operasi perkalian, telah di ketahui perkalian bilangn 0 dengan bilangan yang lain adalah nol. Sejalan dengan konsep a : b = c ↔ a : c = b, maka di peroleh misalnya 0 x 1 = 0, 0 x 2 = 0, dan seterusnya Untuk sembarang bilangan kacuali bilangan 0, berlaku 0 : a = 0 karena 0 : a = 0 ↔ a x 0 = 0 Secara konsep 0 x 1 = 0 ↔ 0 : 0 = 1 (?) benar, tetapi secara maknanya ternyata salah. Hal ini dapat di perlihatkan dengan 0 : 0 memberikan hasil yang tidak tentu. Jadi sembarang bilangan di bagi dengan bilangan 0 adalah “tidak didefinisikan”. Untuk sembarang bilangan a, berlaku a : 0 = tidak didefinisikan Sifat bilangan 1 pada Operasi Pembagian Berdasarkan pada konsep a : b = c ↔c x b = a, maka di peroleh 1 x 1 = 1 ↔ 1 : 1 = 1 dan 1 x 2 = 2 ↔2 : 2 = 1 Untuk sembarang bilangan a, keculai 0, berlaku a : a= 1, karena a: a= 1↔ a x 1 = a Suatu bilangan keculai 0 di bagi dengan dirinya sendiri, hasilnya adalah 1. Untuk sembarang bilangan a keculai 0, ada sembarangan bilangan yang di sebut kebalikan dari a ( invers terhadap perkalian dari a ) dinyatakan dengan 1/a, sehingga a/a = a/a x 1/a = 1. Pengenalan Pembelajaran Bilangan Cacah di SD Penanaman Konsep Penjumlahan Pemahaman awal tentang konsep dan prosedur penjumlahan terbentuk dari pengalaman informal. Pada waktu bermainanak-anak mempunyai kesempatan untuk berbagi benda-benda yang dimiliki, menghitung objek-objek yang ada di sekitarnya, membandingkan tinggi dan jarak benda satu dengan yang lainnya, dll. Anak-anak di sekolah memerlukan kesempatan untuk berpartisipasi didalam aktivitas-aktivitas yang mirip kegiatan bermain seperti di luar kelas. Bermain merupakan kebutuhan yang utama bagi siswa kelas rendah yaitu kelas 1 sampai kelas 3. Oleh sebab itu guru perlu merancang kegiatan belajar mengajar yang mempuyai nuansa bermain, sehingga anak betah belajar dan memahami konsep matematika dengan baik. Guru pun dalam pelaksanaan pembelajarannya harus disertai dengan benda-benda yang konkret, termasuk dalam hal pengenalan konsep penjumlahan. Pada waktu pembelajaran di kelas, pertama kali penanaman konsep penjumlahan, guru dapat menyediakan benda-benda konkret di lingkungan sekitar seperti permen, kelereng, manik-manik, lidi dan sebagainya. Tugaskanlah dua orang siswa misalnya Dudi dan Roni untuk berdiri di depan kelas, kemudian Dudi memegang dua buah kelereng dan Roni memegang tiga kelereng, selanjutnya kelereng Roni diberikan kepada Dudi, dan tugaskanlah Dudi menghitung semua kelerengnya. Lakukanlah peragaan ini berulang-ulang dengan siswa yang berbeda dan benda konkret yang bervariasi. Setelah siswa memahami konsep penjumlahan dengan baik, siswa dibawa ke tahap berikutnya yaitu mulai mengenal tanda ata simbol yang digunakan untuk menyatakan hasil dari suatu penjumlahan. Contoh : Ira mempunyai 3 buah telur, Susi memberikan 2 buah telur kepada Ira, sekarang jumlah telur Ira ada 5 buah. + 3 + 2 = 5 Pengenalan Fakta Dasar Penjumlahan Setelah siswa memahami tentang konsep penjumlahan dan mampu menjumlahkan dengan penuh pengertian, siswa perlu dikenalkan dengan fakta dasar penjumlahan. Fakta Dasar Penjumlahan + 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 8 4 5 6 7 8 9 5 6 7 8 9 10 Penguasan Fakta Dasar Penjumlahan Penguasaan fakta dasar penjumlahan bias dilakukan dengan cara sering mengulang-ngulang ingatan siswa terhadapfakta dasar penjumlahan tersebut dengan cara menghapal seperti 1 + 1 = 2 ; 3 + 4 = 7 dan seterusnya. Cara yang dilakukan dengan metode “ drill and practice” (latihan dan praktek / pembiasaan). Algoritma Penjumlahan Untuk mengenalkan alogaritma penjumlahan kepada siswa perlu diberikan contoh soal, dan langkah penyelesaiannya pertama kali perlu dibantu dengan alat peraga seperti batang cusenaire,abacus,kantong nilai tempat dan lainnya. Contoh soal 136 + 87 = … dengan menggunakan kantong nilai tempat dengan batang pipa plastic/sedotan limun, caranya sediakan kantong nilai tempat dengan pipa plastic dan sepakatkan misalnya untuk satuan pipa berwarna kuning, pulahan pipa berwarna merah, dan ratusan pipa berwarna hijau Kantung Nilai Tempat Ratusan Puluhan Satuan Untuk mengoperasikannya apabila satuan yang watna kuning lebih dari sepuluh maka satuan yang sepuluh diganti dengan satu batang warna merah dan disimpan pada kantung puluhan, dan apabila batang puluhan yang berwarna merah lebih dari sepuluh, maka sepuluh batang puluhan warna merah diganti dengan batang warna ratusan dan disimpan pada kantung ratusan, maka hasilnya sebagai berikut : Ratusan Puluhan Satuan Pembentukan Keterampilan Hitung penjumlahan Untuk pembentukan keterampilan hitung penjumlaha, gunakan papn tulis untuk memberikan penjelasan tentang langkah-langkahnya, di papan tulis hanya lambang bialngannya saja yang digunakan tidak adfa lagi benda konkrit atau gambar. Misalkan bilangan yang akan dijumlahkan adalah 267 dan 175 Sebelum kita menjelaskan algoritma penjumlahan, tanyakan dahulu kepada siswa makna dari angka 7 pada bilangan 267 dan angka 5 pada bilangan 175, dan tanyakan pula pda siswa bilangan puluhannya dan ratusannya dari kedua bilangan tersebut apakah dapat dijumlahkan? Selanjutnya tulislah di papan tulis dan jelaskan pada siswa a . 2 6 7 1 7 5 + 12 b . 1 ……… berasal dari 10 satuan hasil penjumlahan satuan 2 6 7 1 7 5 + 2 c . 1 2 6 7 1 7 5 + 14 2 d . 1 …… berasal dari 10 puluhan dari hasil penjumlahan bilangan puluhan 2 6 7 1 7 5 + 4 2 e . 1 1 2 6 7 1 7 5 + 4 4 2 Dengan demikian hasil penjumlahannya adalah 442 Setelah siswa paham kemudian siswa diajarkan menuliskan proses penjumlahan pada satu bagan saja, seperti: 1 1 2 6 7 1 7 5 + 4 4 2 Pengerjaan dengan satu bagan perlu dijelaskan kepada siswa sebagai berikut: Pada kolom satuan, jika jumlah bilangan satuan-satuannya kurang dari 10 maka langsung ditulis hasilnya.tetapi jika hasilnya 10 atau lebih maka yang ditulis adalah angka satuan saja sdangkan puluhannya ditulis di atas baris paling atas di atas kolom puluhan disebut’simpanan’ Pada kolom puluhan, angka angka puluhan dan hasil simpanannya ini dijumalahkan. Jika hasilnya kurang dari 10 maka langsung ditulis angkanya, tetapi jika hasilnya 10 atau lebih, maka yang ditulis adalah angka satuannya saja dan angka puluhannya ditulis di baris paling atas (sejajar dengan hasil simpanan dari penjumlahan dan satuan) di atas kolom ratusan.. akhirnya semua bilangan pada kolom ratusan ini dijumlahkan (termasuk simpanan dari penjumlahan puluhan) menyatakan bilangan ratusannya. Pengajaran Pengurangan Di Tingkat SD Penanaman konsep pengurangan di tingkat SD Operasi pengurangan pada dasarnya merupakan kebalikan atau invers dari operasi penjumlahan, oleh sebab itu dalam menanamkan konsep pengurangan guru perlu mengaitkan konsep pengurangan dengan konsep yang dimiliki oleh siswa sebelumnya yaitu operasi penjumlahan. Penanaman konsep pengurangan bilangan cacah hendaknya dimulai dengan mengajarkan penjumlahan dengan salah satu bilangan yang belum diketahui. Contoh soal : Di dalam gelas terdapat 5 kelereng, berapa kelereng yangperlu ditambahkan pada gelas tersebut sehingga menjadi 9 kelereng? Pada saat mengenalkan suatu konsep baru maka pengalaman dengan benda konkret harus senantiasa diberikan. Setelah siswa mempunyai pengalaman yang cukup dengan benda-benda konkret tentang penjumlahan yang salah satu bilangannya tidak diketahui, selanjutnya ajaklah siswa belajar ke tahap berikutnya yaitu menggunakan gambar dari pengalaman menggunakan benda-benda konkret tadi. Setelah pengalaman gambar cukup memadai bagi siswa, selanjutnya perlu dimulai dengan mengaitkan dengan symbol bilangan, sehingga pada akhirnya siswa akan mengenal bentuk abstrak seperti berikut : 5 + ... = 9 dan ... + 5 = 9 Dengan memperhatikan contoh-contoh di atas, siswa perlu mulai dikenalkan dengan kenyataan bahwa symbol-simbol : 5 + ... = 9 dan ... + 5 = 9 adalah ekivalen dengan symbol 9-5 = ... yang dikenalkan dengan istilah pengurangan. Dari sini mulailah mengajarkan pengurangan bilangan cacah tersebut. Selanjutnya coba anda ceritakan cara mengajarkan 32 – 7 = ... dengan menggunakan alat peraga himpunan manic – manic atau kelereng atau kerikil atau boneka atau bahkan cui senaire. Pengenalan fakta dasar pengurangan Seperti pada fakta dasar penjumlahan, maka sifat-sifat yang berlaku pada operasi penguranganpun perlu diketahui oleh siswa terutama sifat pertukaran, identitas, dan pengelompokan. Selanjutnya untuk memperkuat pemahaman siswa tentang konsep pengurangan siswa perlu dikenalkan dengan fakta dasar pengurangan. Contoh: fakta dasar pengurangan Penjumlahan Pengurangan 1 + 1 = 2 2 – 1 = 1 2 + 1 = 3 3 – 1 = 2 9 + 8 = 17 17 – 8 = 9 Penguasaan fakta dasar pengurangan Siswa diajak untuk memperhatikan hubungan antara fakta dasar penjumlahan dan pengurangan, adalah persamaannya? Selanjutnya untuk memperkuat pemahaman awal tentang dasar pengurangan bilangan cacah, kepada siswa berikanlah latihan yang cukup banyak tentang pengurangan bilangan cacah, semakin banyak latihan yang diberikan akan semakin memperkuat pemahaman siswa akan sifat-sifat dari fakta dasar tersebut. Alogaritma pengurangan Pada dasarnya pelajaran alogaritma pengurangan sama seperti mengajarkan alogaritma penjumlahan bilangan cacah. Pengajarannya haruslah bermakna dengan membuat alogaritma ini menjadi konkret yaitu Untuk mengajarkan alogaritma pengurangan siswa perlu memahami terlebih dahulu tentang nilai tempat. Sebagai contoh cara mengajarkan pengurangan 236 – 147 dengan menggunakan kantung nilai tempat. Ratusan Puluhan Satuan I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I --- Misalkan untuk nilai satuan dengan menggunakan pipa plastic warna kuning, nilai puluhan berwarna merah, nilai ratusan berwarna hijau. Pada kantung satuan berisi enam batang tidak bisa dikurangi tujuh, maka mengambil pada batang puluhan berwarna merah dan ditukarkan pada batang satuan berwarna kuning dan disimpan di kantung satuan dan pada kantung satuan menjadi enam belas batang, kemudian pada kantung puluhan bersisa dua dan apabila apabila dikurangi dengan empat tidak mencukupi, maka mengambil satu batang dari kantung ratusan dan ditukarkan pada batang puluhan berwarna merah dan disimpan pada kantung puluhan menjadi dua belas batang puluhan, dan pada kantung ratusan bersisa satu batang ratusan. Dan hasilnya adalah sebagai berikut : Ratusan Puluhan Satuan I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I --- Dengan demikian hasil pengurangan 236 – 147 adalah 89 Proses pengajaran dengan menggunakan alat peraga perlu dilengkapi dengan pengurangan yang dinyatakan dengan symbol dengan menggunakan alogaritma sebagai berikut : 2 3 6 1 4 7 6 – 7 tidak bisa dilakukan, terpaksa mengambil 1 puluhan sehingga bentuknya menjadi sebagai berikut 2 2 3 10 + 6 1 4 7 9 2 – 4 tidak bisa dilakukan, perlu m3engambil 1 ratusan sehingga diperoleh hasil sebagai berikut 1 2 10 + 2 16 1 4 7 8 9 1 12 16 1 4 7 0 8 9 Dengnan demikian maka hasil pengurangannya adalah 89 yang berasal dari 8 puluhan dan 9 satuan. Pembentukan keterampilan melakukan pengurangan Pembentukan keterampilan melakukan pengurangan, perlu dilakukan dengan cara banyak latihan alogaritma secara berulang-ulang dengan variasi peminjaman, proses pengerjaannya secara abstrak dan selanjutnya dengan disederhanakan, sebagai contoh : 354 – 167 10 10 3 2 5 4 4 dan akhirnya 3 2 14 14 1 6 7 1 6 7 7 1 8 7 Pengajaran pengurangan di kelas 4-6 pada hakikatnya mengikuti pola pengajaranm pengurangan di kelas 1-3, hanya saja bilangan cacah yang digunakan di kelas 4-6 lebih besar dari ribuan bahkan lebih dari satu juta. Untuk meningkatkan keterampilan pengurangan, berikanlah siswa latihan soal dengan bilangan yaitu lebih besar misalnya 343575 – 45431, berikanlah alogaritma pengurangan dengan benar mulai dari pengurangan satuan, puluhan, ratusan, ribuan, puluh ribu, sampai ratus ribuan caranya Pada kolom satuan, kurangkan baris atas dengan baris bawah sehingga diperoleh angka 4, letakkan angka 4 ini pada kolom satuan di bawah garis pemisah tanda pengurangan. Pada kolom puluhan, kurangkan baris atas dengan baris bawah sehingga diperoleh angka 4, letakkan angka 4 ini pada kolom puluhan di bawah garis pemisah tanda pengurangan. Pada kolom ratusan, kurangkan baris atas dengan baris bawah sehingga diperoleh angka 1, letakkan angka 1 ini pada kolom ratusan di bawah garis pemisah tanda pengurangan. Proses ini berhenti sementara sampai di kolom 4 (kolom ribuan), karena 3 tidak dapat dikurangi 5sehingga perlu meminjam 1 angka pada kolom puluh ribuan, yang besarnya sama dengan 10 ribuan, dan angka 10 diletakkan di atas kolom ribuan untuk ditambahkan dengan 3 dan hasilnya dikurangi 5. Dengan demikian diperoleh angka 8. Hasil sampai langkah ini akan tampak sebagai berikut: 10 4 3 3 5 7 5 4 5 4 3 1 8 1 4 4 Pada kolom selanjutnya (kolom puluh ribuan), ternyata angka 4 sudah berganti menjadi angka 3 (karena dipinjam) sehingga tidak bisa dikurangkan dengan 4. Oleh karaqna itu perlu pinjam dari kolom ratus ribuan. Hasilnya akan tampak seperti berikut: 10 4 3 3 5 7 5 4 5 4 3 1 9 8 1 4 4 Akhirnya pada angka baris atas kolom ratus ribuan adalah 3 dan tidak ada angka yang tampak pada baris bawah kolom yang sama, hasil pengurangannya tetap 3. Dengan demikian hasil akhirnya akan tampak sebagai berikut: 10 4 3 3 5 7 5 4 5 4 3 1 9 8 1 4 4 Dengan demikian maka hasil dari pengurangan 343575 – 45431 adalah 398144 Penguasaan keterampilan melakukan pengurangan denganm cara memperbanyak latihan serta menambah variasi soal bilangan cacah, soal-soal cerita yang memuat masalah pengurangan bilangan perlu sering dilatihkan, dalam memberikan soal cerita guru perlu memberikan arahan dengan berdiskusi dengan siswa apakah soal cerita yang diberikan merupakan masalah pengurangan bukan? Guru perlu membantu siswa memahami masalah yang ada pada soal cerita dan membimbing menyelesaikannya. Pengajaran Perkalian ditingkat SD Penanaman Konsep Perkalian Penanaman konsep perkalian menggunakan berbagai macam pendekatan. Pendekatan-pendekatan yang dapat digunakan untuk menunjukkan hasil perkalian dua bilangan cacah yang akan dibahas berikut ini, diantaranya : pendekatan himpunan, pengukuran, dan pendekatan kekekalan banyaknya. Model penyajiannya adalah model konkret dan model abstrak sesuai dengan tingkat berpikir anak. Karena menurut ET. Ruseffendi (dalam Darhim, dkk. 1991) tipe berpikir dibagi menjadi empat tahap, yaitu : tahap konkret, semi konkret, semi abstrak, dan abstrak. Berikut ini adalah contoh-contohnya. contoh 1 menentukkan hasil 3 x 4 dengan himpunan. Misalkan seorang siswa mempunyai tiga bungkus permen yang masing-masing bungkusnya berisi 4 buah biji permen. Berapa buah permenkah yang dimiliki siswa tersebut? Untuk mengetahuinya bungkus permen harus dibuka terlebih dahulu. Anda perhatikan gambar berikut setelah bungkus permen dibuka. D A B C Permen pada kelompok A, B, dan C masing-masing 4 buah sehingga permen yang ada pada kelompok D bila dihitung sebanyak 12 buah. Kelompok D adalah gabungan dari kelompok A, B dengan kelompok C. Dengan demikian permen pada kelompok D merupakan hasil dari 3 x 4 = 12. Gambar diatas sebenarnya merupakan gabungan dari buah himpunan yang masing -masing anggotanya 4 buah. Seandainya bagi anak, notasi gabungan (U) untuk himpunan tidak terlalu abstrak, kita dapat menggunakan notasi itu untuk menerangkan perkalian. Dengan menggunakan notasi tersebut 3 x 4 dapat disajikan sebagai berikut : A B C 3 x 4 = 12 Pada gambar di atas diperlihatkan bahwa anggota-anggota himpunan D merupakan gabungan dari anggota himpunan A, B, C dan D. Dengan demikian, n(A) + n(B) + n(C) = n(D), atau 4 + 4 + 4 = 12, atau 3 x 4 = 12 Dari contoh di atas jelas bahwa perkalian merupakan penjumlahan berulang. Contoh 2 Menunjukkan hasil kali 2 x 3 dengan pita garis bilangan (garis bilangan). Karena perkalian dapat diartikan sebagai penjumlahan berulang, maka 2 x 3 berarti 3 + 3. Sehingga cara menunjukkan 2 x 3 dengan pita garis bilangan sama dengan menunjukkan 3 + 3. Caranya sebagai berikut : Pasang model mobil sehingga pitanya tepat dengan angka nol, dan mobil tersebut harus menghadap ke kanan. Langkahkan maju mobil tersebut dua langkah, dengan setiap langkah 3 skala. Kedudukan mobil terakhir adalah hasil kali dari 2 x 3. contoh 3 memperlihatkan hasil kali 4 x 9 dengan jari tangan. Caranya sebagai berikut : Kedua belah tangan menghadap ke kita Jari-jari beri nomor 1 sampai dengan 10 mulai ibu jari tangan kiri sampai dengan ibu jari tangan kanan. Bila kita akan menunjukkan 4 x 9, lipatkan jari nomor 4. Hasil perkaliannya dapat dibaca sebagai berikut : Tiga jari sebelah kiri yang dilipat sebagai puluhan dan jari-jari sebelah kanan jari yang dilipat sebagai satuannya. Karena sebelah kiri jari yang dilipat ada 3 buah dan sebelah kanan jari yang dilipat ada 6 buah, maka hasil 4 x 9 adalah 36. Contoh ini hanya untuk perkalian bilangan 1 sampai 10. Untuk bilangan dari 10 akan dijelaskan berikutnya. Selain model perkalian dengan jari seperti diatas masih ada cara lain untuk menunjukkan perkalian antara dua bilangan cacah. Anda perhatikan contoh berikut : Contoh 4 Menunjukkan hasil kali 7 x 8 dengan jari tangan. Caranya : Beri nomor jari-jari tangan kiri dan kanan mulai dari ibu jari untuk nomor 6 sampai dengan 10 untuk kelingking secara berurutan. Sentuhkan (ke kanan) jari nomor 7 dari tangan kiri dengan jari nomor 8 dari tangan kanan (untuk 7 x 8). Hasil kali 7 x 8 adalah puluhannya diperlihatkan dengan banyak jari di atas mulai dari jari-jari yang disentuhkan dan satuannya adalah hasil kali antara banyak jari di tangan kiri dengan banyak jari di tangan kanan di bawah jari yang disentuhkan. Contoh ini hanya untuk perkalian antara bilangan 6 sampai dengan 10. Perkalian yang diperlihatkan pada contoh-contoh merupakan perkalian antara bilangan cacag yang merupakan fakta dasar perkalian. Berikut ini model perkalian dua bilangan cacah yang bukan merupakan fakta dasar perkalian. Pengenalan Fakta Dasar Perkalian Setelah siswa memahami konsep perkalian perlu siswa diperkenalkan pada fakta dasar perkalian. Yang dimaksud dengan fakta dasar perkalian adalah perkalian antara dua bilangan cacah dari 0 sampai 9, atau daftar kali-kalian dari 0 sampai 9. Fakta Dasar Perkalian X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 3 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 4 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 6 0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 7 0 7 14 21 28 35 42 49 56 63 8 0 8 16 24 32 40 48 56 64 72 9 0 9 18 27 36 45 54 63 72 81 Penguasaan Fakta Dasar Perkalian Untuk menguasai fakta dasat perkalian dengan cara sering mengulang-ulang ingatan siswa terhadap fakta dasar perkalian tersebut, dapat pula dengan metode “orill and practice”. Algoritma Perkalian Dengan Model Konkret Pengajaran algoritma perkalian diawali dengan pemberian pengalaman melakukan perkalian dengan benda-benda konkret, terutama untuk bilangan-bilangan kecil. Misalkan 3 x 5 mulai dengan menggunakan benda-benda konkret seperti kelereng, lidi, dll. Caranya menggunakan 3 ikat lidi, setiap ikat lidi terdiri dari 5 batang lidi. + + = 3 x 15 = 45 Dari model diatas 15 diperoleh dari 3 ikat lidi yang setiap ikatnya 5 buah. Model diatas tidak praktis apalagi untuk bilangan besar. Dengan demikian untuk bilangan besar model perkalian akan lebih praktis bila dipilih model abstrak, asal arti perkalian dan fakta dasar perkalian telah dipahami terlebih dahulu. Dengan Model Abstrak Cara Panjang 15 = 10 + 5 .... bentuk panjang dari 15 3 = 0 + 3 x.... bentuk panjang dari 3 15 x 3 = 30 + 15 .... hasil kali 3 x (10 + 5 ) = 0 + 0 + .... hasil kali 0 x (10 + 5) = 30 + 15 .... penjumlahan = 40 + 5 .... nama lain dari 30 + 15 = 45 .... nama lain dari 40 + 5 Jadi 3 x 15 = 45 Pada contoh diatas sebenarnya bentuk panjang dari 3 = 3 (sebab 3 tidak mempunyai puluhan). Sehingga model perkalian tersebut dapat disederhanakan sebagai berikut : 15 = 10 + 5 .... bentuk panjang dari 15 3 = 3 x.... bentuk panjang dari 3 15 x 3 = 30 + 15 .... hasil kali 3 x (10 + 5 ) = 40 + 5 .... nama lain dari 30 + 15 = 45 .... nama lain dari 40 + 5 Dengan Model Abstrak Cara Singkat █(1@ 15@ 3)/( 5)× b. █(1@ 15@ 3)/45× Pada langkah a. menentukan 3 x 5 = 15. Kemudian 5 dituliskan tepat di bawah angka satuan bilangan-bilangan yang dikalikan. Sedangkan 1 dibawa (disimpan) dan dituliskan tepat di atas angka puluhan dari bilangan yang dikalikan. Pada langkah b. menentukan hasil kali 3 x 1 = 3 dan hasilnya dijumlahkan dengan bilangan yang disimpan pada langkah a. Sehingga pada langkah b. kita mengerjakan ( 3 x 1 ) + 1 = 4. Jadi hasil 3 x 15 = 45. Perkalian lebih dari seratus Model Perkalian Cara Panjang Misalkan perkalian 69 x 14 dengan cara panjang. Prinsip utama perkalian cara panjang ini adalah bilangan-bilangan yang akan dikalikan ditulis dalam bentuk panjang. Kemudian dilakukan perkalian secara vertikal. Untuk perkalian 69 x 14 caranya sebagai berikut. 69 = 60 + 9 .... bentuk panjang dari 69 14 = 10 + 4 x .... bentuk panjang dari 14 69 x 14 = 240 + 36 .... hasil kali 4 x(60 + 9) 600 + 90 .... hasil kali 10x(60 + 9) 69 x 14 = 840 + 126 .... penjumlahan = 800 + 40 + 100 + 20 + 6 ... nama lain dari 840 + 126 = 900 + 60 + 6 .... nama lain dari 800 + 40 + 100 + 20 + 6 = 966 Jadi 69 x 14 = 966 Model Perkalian Cara Singkat Bandingkan contoh di atas dengan contoh berikut ini, yaitu perkalian antara dua bilangan cacah dengan cara singkat. Prinsip utama perkalian cara singkat ini adalah kedua bilangan yang akan dikalikan ditulis vertikal, kemudian dikalikan secara vertikal. █("3" @" 69" @" 14" )/" 6" " ×" b. █(3@ 69@ 14)/276 × c. █(69@14)/█(276@9) × d. █(69@14)/(█( 276@69)/966)× Pada langkah a, pengerjaan yang dilakukan adalah menentukan 4 x 9 = 36. Kita perhatikan angka 3 dan 6 dimana harus dituliskan. Pada langkah b, pengerjaan yang dilakukan adalah menentukan 4 x 6 = 24 dan hasilnya dijumlahkan dengan 3 yang disimpan dilangkah a. Jadi pada langkah ini menentukan (4 x 6) + 3 = 24 + 3 = 27. Kita perhatikan dimana angka 27 dituliskan. Pada langkah c, pengerjaan yang dilakukan adalah menentukan 1 x 9 = 9. Kita perhatikan dimana menulis angka 9 tersebut. Pada langkah d, pengerjaan yang dilakukan adalah menentukkan 1 x 6 = 6. Demikian pula untuk angka 6, di mana dituliskannya. Dari langkah c dan d diperoleh 69 yang berarti 690. Langkah selanjutnya, kita jumlahkan 276 dan 69 secara vertikal, sehingga diperoleh 966 (lihat pada langkah d di atas). Perkalian pada contoh berikut adalah perkalian antara dua bilangan cacah ratusan. Prinsipnya sama dengan perkalian antara dua bilangan cacah puluhan seperti di atas, hanya di sini langkahnya lebih banyak. Hal ini akibat bilangan yang harus dikalikan lebih banyak daripada perkalian contoh di atas. Model Perkalian Sebagai Penjumlahan Berulang Misalkan kita akan mencari hasil perkalian 47 x 36. 36 47 x 42 .... 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 42 satuan 210 .... 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 21 puluhan 240 .... 6 + 6 + 6 + 6 = 24 puluhan 1200 +.... 3 + 3 + 3 + 3 = 12 ratusan 1692 Model Perkalian dengan Fakta Dasar Perkalian 36 47 x 42 .... 7 x 6 = 42 210 .... 7 x 30 = 210 (fakta dasar perkalian 7 x 3 dan 7 x 0) 240 .... 40 x 6 = 240 (fakta dasar perkalian 4 x 6 dan 0 x 6) 1200 + .... 40 x 30 = 1200 (fakta dasar perkalian 4 x 3, 4 x 0, 0 x 3, 1692 dan 0 x 0) Model Perkalian Bilangan Puluhan dengan 9 Menggunakan Jari Tangan Contoh berikut ini adalah model perkalian bilangan puluhan (yang angka satuannya lebih besar atau sama dengan angka puluhannya) dengan 9, menggunakan jari tangan. Misalkan kita akan mencari hasil perkalian 25 x 9. Model perkalian 25 x 9 menggunakan jari tangan, memenuhi syarat perkalian dengan jari sebab 5 > 2. Caranya : Letakkan (telungkupkan) dua tangan kita di atas meja. Kemudian beri nomor secara terurut mulai dari nomor 1 untuk kelingking tangan kiri sampai nomor 10 untuk kelingking tangan kanan. (lihat gambar di bawah ini) Mulai dari jari bernomor 2, kita pisahkan (renggangkan). Kemudian jari nomor 5 kita lipat. (lihat gambar di bawah ini) Hasil dari 25 x 9 bacalah kedudukan jari hasil langkah b. cara membacanya sebagai berikut: Lima jari di kanan jari yang dilipat sebagai satuannya. Dua jari antara jari yang dilipat dengan yang celah pemisah antara jari nomor 2 dan 3, sebagai puluhannya. Dua jari yang paling kiri (di skiri celah pemisah) adalah sebagai ratusannya. Karena pada hasil kali 25 x 9 terdapat 2 ratusan, 2 puluhan, dan satuan, maka hasil kali 25 x 9 = 225. Pengajaran Pembagian ditingkat SD Penanaman Konsep Pembagian Operasi pembagian merupakan operasi yang paling sukar dibandingkan dengan penjumlahan, pengurangan, dan perkalian. Oleh karena itu perlu dipilih cara yang tepat untuk menjelaskan operasi hitung ini. Bila perkalian sering dilakukan untuk mengubah satuan ke puluhan, maka dalam pembagian terjadi sebaliknya, yaitu mengubah puluhan menjadi satuan, atau mengubah ratusan menjadi puluhan, dan seterusnya. Penguasaan akan fakta-fakta dasar perkalian bilangan cacah dapat digunakan untuk mengenalkan konsep pembagian. Misalnya jika para siswa telah menguasai 4 x 6 = 24, maka bisa dibuat soal seperti berikut : “Diisi dengan bilangan berapakah tanda “_” berikut agar pernyataan 4 x _ = 24.?“ Ada dua situasi yang bisa digunakan untuk mengenalkan konsep pembagian, yaitu situasi pengukuran dan situasi partisi. Situasi pengukuran mempunyai ciri sebagai berikut : ukuran dari himpunan awalnya diketahui dan ukuran masing-masing himpunan bagiannya diketahui, permasalahan yang harus diselesaikan dalam situasi ukuran adalah menentukan banyaknya himpunan bagian dari himpunan tersebut. Misalnya “tersedia delapan potong roti untuk disajikan sebagai sarapan para tamu. Setiap kali sajian memerlukan dua potong roti. Berapa kali sajian yang dapat dilakukan dengan delapan potong roti tersebut?” Sedangkan situasi partisi mempunyai ciri sebagai berikut : ukuran himpunan semula diketahui, dan banyaknya himpunan bagiannya diketahui. Permasalahannya adalah menentukan ukuran dari masing-masing himpunan bagiannya. Misalnya “tersedia delapan potong roti yang akan disajikan secara merata untuk sarapan empat orang tamu. Berapa potong roti yang diperoleh dari masing-masing tamu?” Kedua situasi diatas perlu diperkenalkan kepada siswa 1-3. Setelah siswa memahami konsep pembagian dengan model benda konkret, perlu ditindak lanjuti dengan memperkenalkan konsep pembagian dengan model abstrak menggunakan bilangan-bilangan yang mudah dipahami oleh siswa. Seperti 12 : 3 = 4 dan 20 : 4 = 5. Model-Model Operasi Pembagian Model Pembagian dengan Himpunan Ada 18 ekor burung yang harus dibagikan rata kepada 3 orang anak. Setiap anak mendapat berapa ekor burung? Dalam menyelesaikan soal seperti ini kita membayangkan sebuah himpunan yang anggotanya 18. Kemudian himpunan tersebut kita pisah menjadi tiga himpunan bagian. Lihat gambar dibawah ini. Ternyata setiap himpunan bagian tersebut beranggota 6 ekor burung. Jadi 18 : 3 = 6. Model Pembagian dengan Pita Garis Bilangan Misalkan kita akan mencari hasil 8 : 4 dengan pita garis bilangan Karena pembagian dapat diartikan sebagai pengurangan berulang, yaitu bilangan yang dibagi dikurangi berulang-ulang bilangan pembagi sampai habis (0), berapa kalikah pengurangan harus dilakukan agar sisanya nol (habis) ? Setelah habis maka isi pembagian tersebut adalah banyaknya pengurangan berulang yang dilakukan. Untuk contoh ini maka 8 : 4 = 8 – 4 – 4 = 0 sehingga yang menunjukkan 8 : 4 sama dengan cara menunjukkan 8 – 4 – 4 = 0. Caranya : Pasang model mobil sehingga pitanya tepat dengan angka nol dan mobil tersebut menghadap ke kanan Mobil tersebut langkahkan maju satu langkah sebanyak 8 skala. Kemudian langkahkan mundur satu langkah sebanyak 4 skala. Sudah sampaikah mobil tersebut ke nol? Jika belum langkahkan kembali mundur satu langkah sebanyak 4 skala. Bila belum sampai juga ke angka nol ulangi lagi melangkahkan mundur mobil tersebut, sedangkan bila telah sampai ke angka nol, maka : Hasil 8 : 4 adalah banyaknya langkah mundur yang harus dilakukan mobil tersebut, sehingga sampai ke angka nol. Lihat gambar dibawah ini. Model Pembagian dengan Cara Pengurangan Berulang Misalnya kita akan mencari hasil dari 10 : 2 dengan cara pengurangan berulang. Caranya adalah lakukan pengurangan terhadap 10 dengan 2 terus menerus sampai habis (sisanya lebih kecil dari 2). Hasil baginya adalah banyaknya pengurangan yang dilakukan. Untuk 10 : 2 dapat diperlihatkan sebagai berikut : 10 2 – ke-1 8 2 – ke-2 6 2 – ke-3 4 2 – ke-4 2 2 – ke-5 0 Ternyata untuk sampai kepada sisa 0 (sisa lebih kecil dari 2) pengurangan terhadap 10 oleh 2 dilakukan sebanyak 5 kali. Berarti 10 : 2 = 5. Hal diatas berarti 10 habis dibagi 2. Model Pembagian dengan Cara Acak (Sembarang) Misalkan mencari hasil 72 : 6 dengan cara acak (sembarang) Ada beberapa cara yang bisa dilakukan untuk menentukan hasil bagi di atas. Jadi 72 : 6 = 12 Model Pembagian dengan Cara Singkat Misalkan mencari hasil 84 : 6 dengan cara singkat Pada langkah a) melakukan pengerjaan 8 : 6 = 1 sisa 2. Angka 1 ditulis tepat di atas puluhan bilangan yang dibagi (karena 1 berarti 10), sedangkan sisanya 2 tepat ditulis di bawah angka puluhan bilangan yang dibagi. Angka 6 yang ditulis di bawah angka puluhan bilangan yang dibagi adalah hasil kali antara 1 (bilangan hasil bagi 8 : 6) dengan bilangan 6 (bilangan pembagi). Sehingga sisa 2 itu sebenarnya hasil dari 8 – 6 = 2. Karena 2 tidak bisa dibagi 6 (hasilnya bukan bilangan asli) maka angka 4 pada satuan bilangan yang dibagi, kita turunkan dan ditulis di belakang angka 2 (angka sisa 8 : 6). Pada langkah b) kita melakukan pengerjaan 24 : 6 = 4. Ternyata sisanya nol. Angka 4 tersebut kita tuliskan di belakang angka 1 (angka hasil 8 : 6). Jadi 84 : 6 = 14. Ternyata 84 habis dibagi 6, sebab sisanya nol. Pada contoh diatas, angka puluhan bilangan yang dibagi dapat dibagi oleh bilangan pembagi (hasilnya bilangan asli). Bagaimanakah jika angka puluhan bilangan yang dibagi tidak bisa dibagi oleh bilangan pembagi (angka puluhan bilangan yang dibagi lebih kecil dari bilangan pembagi). Penguasaan Fakta Dasar Pembagian Setelah siswa memahami konsep pembagian, siswa perlu menguasai beberapa fakta dasar pembagian dengan cara banyak berlatih memecahkan masalah pembagian sederhana seperti menggunakan tabel pembagian dapat dipakai untuk meningkatkan penguasaan siswa akan fakta dasar pembagian, dapat pula dengan memodifikasi kartu domino atau kartu bridge dengan menuliskan soal-soal tentang fakta dasar pembagian ini ke dalamnya. Algoritma Pembagian Pengenalan algoritma pembagian hendaknya diawali dengan memberikan pengalaman melakukan pembagian dengan menggunakan benda-benda konkret dan dilanjutkan secara abstrak. Pengajaran di kelas 4-6 yaitu melanjutkan algoritma pembagian dari kelas 1-3 dengan bilangan-bilangan yang lebih besar dan selanjutnya para siswa dikenalkan dengan pembagian bilangan cacah dengan bilangan cacah yang punya dua nilai tempat dengan cara membagi bilangan cacah dengan bilangan cacah kelipatan sepuluh. Pemahaman akan pola-pola perkalian dan pembagian bilangan sepuluh dan kelipatannya, seratus dan kelipatannya perlu dimantapkan. BAB III PENUTUP Kesimpulan Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa bilangan cacah adalah bilangan yang digunakan untuk menyatakan cacah anggota atau kardinalitas suatu himpunan. Terdapat empat operasi dalam bilangan cacah, yaitu (1) penjumlahan (2) pengurangan (3) perkalian (4) pembagian. Sifat-sifat yang berlaku pada operasi penjumlahan pada bilangan cacah adalah sifat pertukaran (komutatif), sifat pengelompokkan (Assosiatif), dan sifat identitas pada bilangan nol. Sedangkan operasi pengurangan tidak memenuhi sifat-sifat yang dimiliki oleh operasi penjumlahan. Sifat-sifat yang berlaku pada operasi perkalian pada bilangan cacah adalah sifat pertukaran (komutatif), sifat pengelompokkan (Assosiatif), sifat bilangan 0 pada perkalian, dan sifat bilangan 1 pada perkalian sebagai unsur identitas. Sedangkan sifat-sifat yang berlaku pada operasi pembagian pada bilangan cacah adalah sifat bilangan 0 pada operasi pembagian dan sifat bilangan 1 pada pembagian. Metode yang digunakan untuk mengajarkan bilangan cacah beserta operasinya banyak sekali. Sangat diperlukan kreativitas dan kesabaran pendidik untuk memberikan materi ini mengingat tahap berpikir siswa masih berpikir konkret (dikelas rendah). Saran Penulis menyarankan agar pendidik dan calon pendidik memahami betul bagaimana tahapan-tahapan pada setiap operasi dan memahami pembuktian serta darimana hasil tersebut. Tidak hanya itu, pendidik juga harus yakin anak didiknya mahir melakukan operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian. Karena operasi tersebut merupakan hal yang sangat penting sebagai dasar materi berikutnya. DAFTAR PUSTAKA Darhim, dkk. 1991. Pendidikan Matematika 2. Jakarta : Departemen Pendidikan dan Kebudayaan Proyek Pembinaan Tenaga Kependidikan Pendidikan Tinggi. Dianawati, Ajen. 2008. Pintar Mengerjakan PR Matematika SD Kelas 2.Jakarta : Wahyu Media Tatang, Herman.dkk. 2007. Pendidikan Matematika 1. Bandung : Upi Press